Олимпиада «Физтех»

Известно, что $\sin x=2\cos y-\dfrac52\sin y$, $\cos x=2\sin y-\dfrac52\cos y$. Найдите $\sin2y$.

Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $242400$ и таких, что $k^2+2k$ делится нацело на $303$.

Решите систему \[ \begin{cases} 3x\geqslant2y+16,\\ x^4+2x^2y^2+y^4+25-26x^2-26y^2=72xy. \end{cases} \]

Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} y=-b-x^2,\\ x^2+y^2+8a^2=4+4a(x+y) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.

Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами трапеций.

В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $AK_1=4$, $BK_2=6$ и $AB=16$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.