Олимпиада «Физтех»

Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2-1$ и $y=f(x)$ равно $\sqrt{30}$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)+3$ равно $\sqrt{46}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2-1$ и $y=f(x)+1$.

Решите неравенство \[ \dfrac{\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}-\sqrt[6]{4x^2}}{(x^2-4|x|)^2-8x^2+32|x|-48}\geqslant 0. \]

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма всех её членов с нечётными номерами на 2 больше, чем сумма всех членов с чётными номерами. А разность между суммой квадратов всех членов на нечётных местах и суммой квадратов всех членов на чётных местах равна $\frac{36}{5}$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

В окружность $\Omega$ радиуса 13 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\perp B_1D_1$, $BD\perp A_1C_1$. Найдите отношение площади $ABCD$ к площади $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=10$, $BC=24$.

Есть 200 различных карточек с числами $2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{100}, 3^{100}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 2 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было кубом целого числа?

На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} y-x\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2+8x+y^2+6y}{2y-x-8}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=1:4$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.