Олимпиада «Физтех»

Бросили 80 правильных игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях; вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших цифр. Какая из вероятностей меньше: того, что эта сумма больше 400, или того, что эта сумма не больше 160?

Дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \ldots, a_n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$, а $a_1\gt 0$. Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$, если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?

Решите неравенство \[ \left(\sqrt{x^3+2x-58}+5\right)\left|x^3-7x^2+13x-3\right|\leqslant 0. \]

Решите уравнение \[ 3x^4+x^2-8x-4x^2|x-4|+16=0. \]

По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(2;2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет наибольшим.

а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$ и пересекает вторично окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно $\frac32$. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=1$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^2+(y-a)^2=64,\\ (|x|-6)^2+(|y|-8)^2=100\end{cases} \] имеет ровно два решения.