Олимпиада «Физтех»

Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр каждого из которых равно 3375. Ответ необходимо представить в виде целого числа.

Решите уравнение \[ \cos 11x-\cos 3x-\sin 11x+\sin 3x=\sqrt2\cos 14x. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \left(\dfrac{y^5}{x}\right)^{\lg x}=y^{2\lg xy},\\ x^2-2xy-4x-3y^2+12y=0. \end{cases} \]

Сфера с центром $O$ вписана в трёхгранный угол с вершиной $S$ и касается его граней в точках $K$, $L$, $M$ (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол $KSO$ и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью $KLM$, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой $SO$, равны 1 и 4.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} |y-3-x|+|y-3+x|=6,\\ (|x|-4)^2+(|y|-3)^2=a \end{cases} \] имеет ровно два решения.

а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\gt 2^x+3\cdot 2^{65};\\ y\leqslant 70+\left(2^{64}-1\right)x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.