Олимпиада «Физтех»

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} y^3+x^2-xy=1,\\ 2y^3+x^2+xy-2y^2=2. \end{cases} \]

Решите уравнение \[ \dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x}=\sqrt{3}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}+\operatorname{tg}2x\right). \]

Решите уравнение \[ \log_{2x+9}\left(2x^2+13x+18\right)\cdot\log_{x+2}\left(x^3+8\right)=\log_{2x+9}\left(2x^2+13x+18\right)+\log_{x+2}\left(x^3+8\right). \]

Четырёхугольник $ABKD$ вписан в окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{17}$. На стороне $KD$ выбрана точка $C$ так, что $\angle BCD=90^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $4$, описанная вокруг треугольника $BCK$, касается отрезка $AD$ и прямой $AB$. Найдите длину отрезка $AB$, угол $BAD$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.

Есть восемь карточек с цифрами $0$, $1$, $2$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$. Сколько существует различных семизначных чисел, делящихся на $15$, которые можно сложить из этих карточек?

Найдите все значения переменной $x$, при каждом из которых оба выражения \[ f(x)=\operatorname{tg}^2\left(\dfrac{\pi\sin x}{2\sqrt{2}}\right)+\operatorname{ctg}^2\left(\dfrac{\pi\sin x}{2\sqrt{2}}\right)\quad\text{и}\quad g(x)=\dfrac{\sqrt{24+5x-x^2}+2x-8}{x-4} \] определены, причём значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).

В треугольной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ опустили высоту $SH$. Известно, что $SH=2\sqrt{3}$, $AB\gt BC$, $AB\gt AC$. Сфера, построенная на отрезке $SH$ как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.