Олимпиада «Ломоносов»

Вычислите $(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$, если $\sin(\alpha+\beta)=0{,}8$ и $\cos(\alpha-\beta)=0{,}3$.

Решите уравнение \[ \sqrt{2^{x^2}}=\left(2^{\sqrt[5]{x}}\right)^5. \]

Какие значения может принимать выражение \[ \log_{b_{11}b_{50}} b_1b_2\ldots b_{60}, \] где $b_1$, $b_2$, $\ldots$ — геометрическая прогрессия?

Решите неравенство \[ \frac{\sqrt{8-x}-|2x-1|}{\sqrt{x+7}-|2x-1|}\leqslant 1. \]

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC=9$, $BC=12$ и $CD=6$.

Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ \text{НОК}(a,b)=60\quad\text{и}\quad\text{НОК}(a,c)=270 \] ($\text{НОК}(x,y)$ — наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$.) Найдите $\text{НОК}(b,c)$.

Определите, под каким углом видно из начала координат (т. е. внутри какого наименьшего угла с вершиной в точке $(0,0)$ помещается) множество, заданное на координатной плоскости неравенством \[ 14x^2+xy+y^2+14x+2y+4\lt 0. \]

Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра радиуса 5, образуя с его осью углы $70^\circ$ и $80^\circ$, а ребро двугранного угла перпендикулярно этой оси и удалено от неё на расстояние 11. Найдите объём части цилиндра, расположенной внутри двугранного угла.

Найдите все значения $x\in(0;\pi]$, удовлетворяющие уравнению \[ |\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,2x\,\mathrm{tg}\,3x|+|\mathrm{tg}\,x+\mathrm{tg}\,2x|=\mathrm{tg}\,3x. \]

В течение четверти учитель по пению ставил детям оценки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое всех оценок Вовочки оказалось равным в точности 3,5. И тогда по предложению Вовочки учитель заменил одну его оценку «4» парой оценок «3» и «5». Докажите, что от этого средняя оценка Вовочки по пению увеличилась. Найдите наибольшее возможное её значение после такой замены:
а) одной оценки «4»;
б) всех его оценок «4».