Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В двух классах (всего 40 школьников) проводилась проверочная работа. В работе было 10 заданий. Каждое верно решённое задание даёт школьнику 1 балл. Распределение баллов представлено на диаграмме: столбики показывают, сколько школьников получили 0 баллов, 1 балл и так далее.

Какие выводы можно сделать? (Отметьте безусловно верные утверждения.) 1. С задачей № 9 справился ровно один человек. 2. Большинство школьников получили от 4 до 6 баллов включительно. 3. Не найдётся никого, кто правильно решил все задачи. 4. Найдутся по крайней мере два человека, которые решили задачу № 9. 5. По крайней мере половина участников получили не менее 5 баллов.

Термометр измеряет температуру воды в бассейне. Вероятность того, что температура окажется выше 23 °C, равна $\frac{3}{4}$. Вероятность того, что температура ниже 26 °C, равна $\frac{2}{3}$. Найдите вероятность того, что температура окажется в пределах от 23 °C до 26 °C.

В микрорайоне проводился опрос по поводу благоустройства территории. В опросе участвовало множество людей, из них 60 % — женщины, а остальные — мужчины. За устройство детской площадки высказалось 70 % женщин и 40 % мужчин. Сколько процентов всех опрошенных высказалось за устройство детской площадки?

В понедельник, вторник и в среду самолёт летал из Москвы в Иркутск и обратно. Известно, что за эти три дня среднее время в пути на маршруте Москва–Иркутск было 6 часов. Ещё известно, что в понедельник самолёт летел в Москву на полчаса дольше, чем он летел во вторник в Иркутск; во вторник он летел в Москву на час дольше, чем в среду в Иркутск, а в среду он летел в Москву столько же времени, сколько в понедельник в Иркутск. Найдите среднее время, которое самолёт был в пути на маршруте Иркутск–Москва.

Сергей Петрович заблудился в лесу. Поблуждав, он вышел в точку $S$, где встречаются все лесные тропинки (см. рисунок). Он хочет выйти к посёлку ($A$) или на станцию ($B$), куда из точки $S$ ведут тропинки. Но есть ещё кольцевые тропинки, которые возвращаются в точку $S$. Сергей Петрович пробует тропинки в случайном порядке. При этом он запоминает, где ходил, поэтому если он прошёл по кольцевой тропинке, то второй раз по ней он уже не пойдёт — ни в ту, ни в другую сторону. Путь по каждой тропинке занимает ровно 20 минут. Какова вероятность того, что Сергей Петрович выйдет из леса ровно через час?

На рисунке справа изображена прямоугольная сетка $4\times 7$. Сколько всего существует прямоугольников, у которых вершины расположены в узлах сетки, а стороны лежат на линиях сетки? Один такой прямоугольник показан для примера.

Число $m$ называется медианой числового набора, если выполняются два условия. 1. Хотя бы половина чисел в наборе не меньше числа $m$. 2. Хотя бы половина чисел в наборе не больше числа $m$.
Даны два числовых набора, у каждого из которых число 3 — медиана. Докажите, что если объединить эти наборы, то у получившегося набора число 3 тоже будет медианой.

На турбазу приехали туристы. В первый день туристы знакомились и каждые двое независимо от прочих с вероятностью $p$ обменялись номерами мобильных телефонов. Утром второго дня туристы разбились на две группы — в одной 5 человек, а в другой 8 человек. Группы пошли по двум разным маршрутам. Найдите вероятность того, что группы смогут связаться друг с другом по телефону (внутри каждой группы туристы свободно общаются друг с другом, мобильные телефоны у всех работают, мобильная связь есть).

На новогоднем празднике у троих первоклассников на голове красные колпаки, а у семерых — синие. Все десять встают в хоровод вокруг ёлки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что хотя бы два первоклассника в красных колпаках окажутся рядом.