Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В Солнечной долине 10 посёлков. Однажды статистики долины провели исследование численности жителей в посёлках. Обнаружили следующее.
1. Число жителей в любых двух посёлках долины отличается не более чем на 100 человек.
2. В посёлке Знойное ровно 1000 жителей, что превышает среднюю численность населения посёлков долины на 90 человек.
Сколько жителей в посёлке Радужный, который также расположен в Солнечной долине?

В красном ящике 100 красных шаров, а в зелёном ящике — 100 зелёных шаров. Восемь красных шаров переложили в зелёный ящик, а потом столько же шаров переложили из зелёного ящика в красный. Шары в ящиках хорошенько перемешали. Что теперь больше: вероятность вытащить наудачу из красного ящика зелёный шар или из зелёного ящика красный?

В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. В любом поединке двух борцов всегда побеждает тот, кто сильнее. В первом туре борцы разбились на случайные пары и провели поединки. Для второго тура борцы ещё раз разбиваются на случайные пары соперников (может случиться, что какие-то пары повторятся). Приз получает тот, кто выиграет оба поединка. Найдите:
а) наименьшее возможное число призёров турнира;
б) математическое ожидание числа призеров турнира.

Игровой круг в телевикторине разбит на 13 одинаковых секторов. Секторы пронумерованы числами от 1 до 13. В каждом секторе в начале игры лежит конверт с вопросом. Игроки выбирают случайный сектор с помощью волчка со стрелкой. Если этот сектор уже выпадал прежде, то конверта в нем уже нет, и тогда играет следующий по часовой стрелке сектор. Если он тоже пуст, — следующий и т.д., пока не встретится непустой сектор. До перерыва игроки разыграли 6 секторов.
а) Что более вероятно: что в числе разыгранных есть сектор № 1 или что среди разыгранных есть сектор № 8?
б) Найдите вероятность того, что в результате оказались разыграны подряд шесть секторов с номерами от №1 до №6.

В школьном совете выбирают председателя. Кандидатов четверо: А, Б, В и Г. Предложена специальная процедура — каждый член совета должен записать на специальном листке кандидатов в порядке своих предпочтений. Например, АВГБ значит, что член совета на первое место ставит А, не очень возражает против В и считает, что он лучше, чем Г, зато меньше всего хотел бы видеть председателем Б.
Первое место даёт кандидату 3 очка, второе — 2 очка, третье — 1 очко, а четвертое — 0 очков. После сбора всех листков, избирательная комиссия суммирует очки у каждого кандидата. Побеждает тот, у кого наибольшая сумма очков.
После голосования выяснилось, что В (который набрал меньше всех очков) снимает свою кандидатуру в связи с переходом в другую школу. Заново голосовать не стали, а просто вычеркнули В из всех листков. В каждом листке осталось три кандидата. Поэтому первое место стало стоить 2 очка, второе — 1 очко, а третье — 0 очков. Очки просуммировали заново.
Могло ли случиться так, что кандидат, который прежде имел больше всех очков, после самоотвода В получил меньше всех? Если могло, приведите пример, как могли распределиться голоса. Если так быть не могло, объясните, почему.

В одном пакетике два пирожка с капустой, в другом два с вишней, в третьем — один с капустой и один с вишней. Выглядят и весят пирожки одинаково, так что неизвестно, какой с чем. Внуку в школу нужно дать один пирожок. Бабушка хочет дать пирожок с вишней, но она сама запуталась в своих пирожках и определить начинку может, только надломив пирожок. Надломленный пирожок внук не хочет, он хочет целый.
а) Покажите, что бабушка может действовать так, что вероятность дать внуку целый пирожок с вишней будет равна $\frac{2}{3}$.
б) Существует ли стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше, чем $\frac{2}{3}$? Если да — найдите эту стратегию. Если нет — докажите её отсутствие.

На берёзе сидели белые и чёрные вороны — всего их было 50. Белые точно были, но чёрных было не меньше, чем белых. На дубе тоже сидели белые и чёрные вороны, и было их всего 50. На дубе чёрных тоже было не меньше, чем белых или столько же, а может быть, даже на одну меньше. Одна случайная ворона перелетела с берёзы на дуб, а через некоторое время другая (хотя, может быть, та же самая) случайная ворона перелетела с дуба на берёзу. Что более вероятно: что количество белых ворон на берёзе стало таким же, как было сначала, или что оно изменилось?

На антарктической станции $n$ полярников, все разного возраста. С вероятностью $p$ между каждыми двумя полярниками завязываются дружеские отношения, независимо от других симпатий или антипатий. Когда зимовка заканчивается и наступает пора разъезжаться по домам, в каждой паре друзей старший даёт младшему дружеский совет. Найдите математическое ожидание числа тех, кто так и не получил ни одного дружеского совета.

На бал пришли $n$ семейных пар. В каждой паре муж и жена абсолютно одинакового роста, но двух пар одного роста нет. Начинает звучать вальс, и все пришедшие разбиваются случайным образом на пары: каждый кавалер танцует со случайно выбранной дамой. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ «Число кавалеров, которые ниже своей партнёрши».

По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции «Таганская» до станции «Киевская», а вечером — обратно (см. схему).

Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через «Белорусскую») поезд идёт от «Киевской» до «Таганской» или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через «Павелецкую») — 11 минут.
По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:

• поезд, идущий против часовой стрелки, приходит на «Киевскую» в среднем через 1 минуту 15 секунд после того, как на неё приходит поезд, идущий по часовой стрелке. То же верно и для «Таганской»;
• на поездку из дома на работу Учёный в среднем тратит на 1 минуту меньше, чем на поездку с работы домой.

Найдите математическое ожидание интервала между поездами, идущими в одном направлении.

Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.

Имеется $n$ случайных векторов вида $(y_1, y_2, y_3)$, где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор $\vec{a}$ с координатами $(Y_1, Y_2, Y_3)$.
а) Найдите математическое ожидание случайной величины $\vec{a}^{\,2}$.
б) Докажите, что $|\vec{a}|\geqslant\frac{n}{\sqrt{3}}$.

У одного островного племени есть обычай — во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным — сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.

Кролики бывают гладкошёрстные и мохнатые. Тип шерсти определяется генами, унаследованными от родителей. Каждый кролик имеет два аллеля одного и того же гена, отвечающего за тип шерсти. Аллель мохнатости обозначим $H$ (или $h$), а аллель гладкошёрстности обозначим $S$ (или $s$). Если у кролика разные аллели, то всё зависит от того, какой аллель доминантный (подавляющий), а какой — рецессивный (подавляемый). Большие буквы используем для доминантных аллелей, а малые — для рецессивных. Таким образом, если генотип (комбинация аллелей) $Hs$, то кролик будет мохнатым, несмотря на наличие аллеля гладкошёрстности. Если генотип $hS$, то кролик гладкошёрстный. Каждый из родителей передает детёнышу один из своих аллелей. Например, если отец имел генотип $hh$, а мать — генотип $hS$, то детёныш может получить от отца только аллель $h$, а от матери с равными шансами любой из аллелей $h$ и $S$. Поэтому с вероятностью 0,5 у детёныша будет генотип $hh$ и с такой же вероятностью 0,5 будет генотип $hS$ (мы считаем, что доминантность или рецессивность аллелей не связаны с полом кролика).
Известно, что в некоторой популяции кроликов аллель мохнатости встречается с вероятностью $p=0{,}1$. Однажды в этой популяции при скрещивании мохнатого кролика с гладкошерстной крольчихой все четыре крольчонка оказались мохнатыми. Какой генотип наиболее вероятен у родителей этих крольчат?

Неправдоподобная легенда гласит, что однажды Стирлинг размышлял над числами Стирлинга второго рода и в задумчивости бросал на стол 10 правильных игральных костей. После очередного броска он вдруг заметил, что в выпавшей комбинации очков присутствуют все числа от 1 до 6. Тут же Стирлинг задумался, а какова же вероятность такого события? Какова вероятность, что при бросании 10 костей каждое число очков от 1 до 6 выпадет хотя бы на одной кости?

Согласно одной неправдоподобной легенде, Коши и Буняковский очень любили по вечерам играть в дартс. Но мишень у них была необычная — секторы на ней были неравные, так что вероятности попасть в разные секторы были не одинаковы. Однажды Коши бросил дротик и попал в мишень. Следующим бросает Буняковский. Что более вероятно: что Буняковский попадёт в тот же сектор, в который попал Коши, или что он попадёт в следующий сектор по часовой стрелке?