МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[ \dfrac{\sin3x}{|\sin x|}+\dfrac{3\sin x}{\sin3x}=-2. \]

Решить неравенство \[ \sqrt{2x^2-7x-4}\gt -x-\frac14. \]

В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена медиана $CD$. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, если $BC=4$, а радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $\frac52$.

Фигура $M$ на плоскости $(x,y)$ ограничена графиками функций $y=3e^{ax}$ и $y=7-2e^{-ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y=9x+3$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.

Сторона основания $ABC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $6$, а высота равна $\frac{3}{\sqrt7}$. На ребрах $AC$, $A_1C_1$ и $BB_1$ расположены соответственно точки $P$, $F$ и $K$ так, что $AP=1$, $A_1F=3$ и $BK=KB_1$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $P$, $F$ и $K$. Найти площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.

Найти все пары целых чисел $x$, $y$, при которых является верным равенство \[ x^3-6x^2-xy+13x+3y+7=0. \]