МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[\dfrac{3+\cos 4x-8\cos^4 x}{4(\cos x+\sin x)}=\dfrac{1}{\sin x}.\]

Решить неравенство \[\log_{\sqrt{x-1}}\left(\dfrac{x-8}{x^2-2x-3}\right)+2\leqslant 0.\]

Решить систему уравнений \[\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt{x+2y}=10,\\ \sqrt{x+y}+2x+y=16.\end{cases}\]

В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) окружность касается основания $BC$, боковых сторон $AB$ и $CD$ и проходит через точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Найти радиус окружности, если $AD:BC=9:7$, а площадь трапеции $S=8$.

Дано число $a=2^{2002}+3^{2002}$. Найти последнюю цифру числа $a$ и остаток от деления числа $a$ на 11.

Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна 2. Плоскость $\alpha$, параллельная прямым $SC$ и $AD$, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем периметр сечения равен $\dfrac{32}{5}$. Найти:
1) в каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости $\alpha$.