МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[\mathrm{arctg}\,\dfrac{2x-1}{x}+\arcsin x=\dfrac{\pi}{2}.\]

Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}xy+\dfrac{y^4}{x}=\dfrac{x^2}{y}+y^2,\\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4}{x^2}=0.\end{cases}\]

Решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{x^2+9x-162}{x-2}}\gt 9-|x|.\]

Один из углов треугольника равен $\dfrac{3\pi}{4}$, радиус вписанной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен $16\left(6+\sqrt{2}\right)$. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Найти все значения $a$, при которых система \[\begin{cases}\log_2(3-x+y)+3=\log_2(25-6x+7y),\\ y+2=(x-2a)^2+a+2x\end{cases}\] имеет два решения.

Расстояние от центра $O$ шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно $4\sqrt{2}$. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.