МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Найти все действительные решения системы уравнений \[\begin{cases}x^5+4x^4+5y^2=0,\\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}=xy-y^2.\end{cases}\]

Решить уравнение \[\sin 3x+\cos 2x=\cos 4x-3|\sin x|.\]

Решить неравенство \[\dfrac{\log_{x^2}9}{\sqrt{\frac12+\log_{x^2}(x+1)}-\sqrt{\frac32}}\geqslant\dfrac{\sqrt2}{\log_3(x+1)-\log_9 x^4}.\]

В параллелограмме $ABCD$ прямые $l_1$ и $l_2$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно, а прямые $m_1$ и $m_2$ — биссектрисами углов $B$ и $D$ соответственно. Расстояние между $l_1$ и $l_2$ в $\sqrt3$ раз меньше расстояния между $m_1$ и $m_2$. Найти угол $BAD$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABD$, если $AC=\sqrt{22/3}$, $BD=2$.

Найти все пары целых чисел, при которых является верным равенство \[3xy+16x+13y+61=0.\]

В пирамиде $ABCD$ длина отрезка $BD$ равна $5/2$, точка $E$ — середина $AB$, а $F$ — точка пересечения медиан грани $BCD$, причем $EF=8$. Сфера радиуса 5 касается плоскостей $ABD$ и $BCD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найти двугранный угол между гранями $ABD$ и $BCD$, площадь грани $BCD$ и объем пирамиды $ABCD$.