МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить неравенство \[\dfrac{|x^2-3x+2|+|2x+1|-5}{\sqrt{4x^3+3x^2+4x+3}}\leqslant0.\]

Решить уравнение \[\dfrac{\cos^5x-\sin^5x}{\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}+\dfrac{\cos^5x+\sin^5x}{\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\dfrac98+\cos 2x.\]

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AE$ и $CD$. Найти длины отрезков $CD$, $CE$, $DE$ и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольник $ABC$ и описанной около треугольника $ABC$, если $AC=2$, $BC=4$, $\angle ACB=\arccos\dfrac{11}{16}$.

Сторона основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пирамиды равен $\arccos\dfrac{7}{32}$. Точки $A_1$ и $B_1$ — середины рёбер $AD$ и $BD$ соответственно, $BC_1$ — высота в треугольнике $DBC$. Найти:

1. угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$;
2. площадь треугольника $A_1B_1C_1$;
3. расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1B_1C_1$;
4. радиус вписанного в пирамиду $A_1B_1C_1D$ шара.

Найти значения параметра $a$, при которых множество решений $(x,y)$ системы неравенств \[\begin{cases} x^2+x+(y-a)^2\leqslant11,\\ x+a+y^2\leqslant0\end{cases}\] содержит отрезок с концами в точках $(1,0)$ и $(1,1)$.

Решить систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{xy}{4}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{yz}{25}=1+2\ln\dfrac{5x}{6},\\ \dfrac{xy}{4}+\dfrac{yz}{25}-\dfrac{xz}{9}=1+2\ln\dfrac{3y}{10},\\ \dfrac{yz}{25}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{xy}{4}=1+2\ln\dfrac{2z}{15}.\end{cases}\]