Московская математическая олимпиада

Даны два квадратных трёхчлена со старшим коэффициентом $1$. График одного из них пересекает ось $Ox$ в точках $A$ и $M$, а ось $Oy$ — в точке $C$. График другого пересекает ось $Ox$ в точках $B$ и $M$, а ось $Oy$ — в точке $D$. (Здесь $O$ — начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники $AOC$ и $BOD$ подобны.

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. К ним по одному подошли ещё $20$ детей, и каждый из них садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика — отважным, если он садился между двумя соседними девочками. Когда все сели, оказалось, что мальчики и девочки сидят на скамейке, чередуясь. Сколько из них были отважными?

Дан правильный $4n$-угольник $A_1A_2\ldots A_{4n}$ площади $S$, причём $n\gt 1$. Найдите площадь четырёхугольника $A_1A_nA_{n+1}A_{n+2}$.

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из $n$ человек, команда математических — из $m$, причём $n\ne m$. Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Дана функция $f(x)$, значение которой при любом целом $x$ целое. Известно, что для любого простого числа $p$ существует такой многочлен $Q_p(x)$ степени, не превышающей $2013$, с целыми коэффициентами, что $f(n)-Q_p(n)$ делится на $p$ при любом целом $n$. Верно ли, что существует многочлен $g(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что $g(n)=f(n)$ для любого целого $n$?

Пусть $I$ — центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ — середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.