Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, \ldots$ равна 60, сумма квадратов членов этой прогрессии равна 1200. Найдите сумму новой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_1$, а знаменатель отличается от знаменателя исходной геометрической прогрессии только знаком.

Решите неравенство \[(\log_5x)^{\log_3\log_2x}+(\log_2x)^{\log_3\log_5x}\gt 2.\]

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $2\cdot AO=7\cdot OA_1$, $BO=2\cdot OB_1$. Найдите отношение высоты, опущенной из точки $A$, к радиусу вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Заданы 2014 натуральных чисел. Если выбрать из них любые 100 чисел, то среди них окажется хотя бы одно чётное число. Если выбрать из них любые 1916 чисел, то среди них окажется хотя бы одно нечётное число. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2014\cdot2013$? Ответ обоснуйте.

Найдите все значения $a$, при которых расстояние между любыми соседними корнями уравнения \[3\operatorname{tg}a\cdot\cos2x+3\sqrt2\cos3a\cdot\cos x+3\operatorname{tg}a-\operatorname{ctg}a=0\] меньше либо равно $\pi/2$.