Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите систему: \[ \begin{cases} x\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)+y\left(1+y^2\right)\left(1+y^4\right)=0,\\ xy+1000=0. \end{cases} \]

Натуральные числа $m$ и $n$, $m\neq n$, таковы, что число $2013^m$ имеет такие же две последние цифры, как и $2013^n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.

Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC=a$ и высотой $AH=h$ описана окружность $\omega_1$. В угол $BAC$ вписана окружность $\omega_2$, касающаяся окружности $\omega_1$ изнутри и касающаяся сторон угла в точках $P$ и $Q$. Определите, в каком отношении отрезок $PQ$ делит высоту $AH$.

Из пункта $A$ в пункт $B$ ровно в полдень выехал велосипедист; одновременно с ним из $B$ в $A$ выехал автомобиль. Спустя некоторое время из пункта $A$ вслед за велосипедистом выехал мотоциклист, который догнал велосипедиста в тот момент, когда последний встретился с автомобилем. По прибытии в $A$ автомобиль немедленно развернулся и проследовал в пункт $B$, куда и прибыл одновременно с мотоциклистом, но на 50 мин раньше велосипедиста. Определите, в какой момент времени мотоциклист выехал из пункта $A$, если известно, что это произошло за 1 ч 20 мин до прибытия туда автомобиля.

Найдите наименьшее значение выражения \[ \left(\frac1x+\frac1y\right)^2-3\cdot\left(\frac xy+\frac yx\right)+(x+y)^2 \] при условии, что \[ \frac1x+\frac1y=3. \]

Даны $n$ различных составных натуральных чисел $a_1,\ldots,a_n$, принадлежащих интервалу $(1;2013)$. Известно, что для любых двух различных чисел $a_i$, $a_j$ из этого набора выполнено условие $\text{НОД}(a_i,a_j)=1$.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.

Найдите $a$ и $b$ такие, что многочлен $x^{2013}+x^{99}+ax+b$ делится нацело на $x^2-x+1$.

Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(a-3)^2+(b-3)^2}+2\sqrt{(a-3)^2+(b+1)^2}+2\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}. \]