Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»
10–11 классы, заключительный этап, 2017, Саратов
5 задач
Задача 1
Сколько натуральных чисел, делящихся на 4 и меньших 1000, не содержат в десятичной записи ни одной из цифр 3, 4, 5, 7 и 9?
Ответ:
Решение:
Задача 2
Между пунктами $A$ и $B$ с постоянной скоростью курсирует один автобус (время на остановки пренебрежимо мало). Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 11 км/ч выехал велосипедист и за время пути строго между этими пунктами ровно 5 раз поравнялся с автобусом. В каких пределах может находиться скорость автобуса при этих условиях?
Ответ:
Решение:
Задача 3
В треугольной пирамиде длины перпендикуляров, опущенных из четырёх вершин на противоположные грани, равны 3, 4, 7 и $84/37$ соответственно. Найдите радиус вписанного в эту пирамиду шара.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство \[ a\log_3 x+\log_{\frac12}x\gt 1 \] имеет решения, причём среди решений нет бо́льших 1.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Что больше: \[ \mathrm{tg}\,9^\circ-\mathrm{tg}\,63^\circ+\mathrm{tg}\,81^\circ-\mathrm{tg}\,27^\circ\quad\text{или}\quad\dfrac{200}{157}\pi\,? \]
Ответ:
Решение: