Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите неравенство \[ 3\sin\left(\dfrac{2x}{3}\right)\geqslant 5-2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{3}\right). \]

Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BL$. Найдите площадь треугольника $ABM$, если площадь треугольника $ABL$ равна 10.

Решите неравенство \[ (\pi-3)^{\ln(x^2-2x)}\leqslant(2-x)^{\ln(\pi-3)}. \]

Найдите все целочисленные значения $a$, $b$, $c$ такие, что существуют три различных корня уравнения \[ x^3+(8+b)x^2+(b+4)x+(c+3)=0, \] которые являются корнями уравнения \[ x^4+5x^3+ax^2+bx+c=0. \]

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ сторона основания равна $\frac{2}{\sqrt3}$, а боковая сторона $AA_1=2$.
а) Докажите, что в призму можно вписать шар, и найдите его радиус.
б) Найдите объём наименьшей части шара, которую отсекает плоскость, проходящая через точки $B$, $A_1$ и $E$.