Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

На острове рыцарей и лжецов рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. В школе на этом острове учатся как рыцари, так и лжецы в одном классе. Однажды учитель спросил у четырёх детей Ану, Бану, Вану и Дану, кто из них сделал домашнее задание. Они ответили:

• Ану: Домашнее задание сделали Бану, Вану и Дану.
• Бану: Домашнее задание не сделали Ану, Вану и Дану.
• Вану: Не верьте им, господин учитель! Ану и Бану лжецы!
• Дану: Нет, господин учитель, Ану, Бану и Вану рыцари!

Сколько рыцарей среди этих детей?

В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=5$ и $AC=6$. Какой должна быть сторона $BC$, чтобы угол $ACB$ был максимально возможным?

Уходя на работу, мама поручила Мише, Пете и Васе: а) подмести пол в прихожей; б) помыть посуду; в) купить хлеба; г) заплатить за электричество; д) вынести мусор; е) пропылесосить ковёр в гостиной. Сколькими различными способами они могут распределить задания так, чтобы каждое задание делал кто-то один из ребят и при условии, чтобы каждый что-нибудь делал?

Решите в натуральных числах уравнение \[ abc+ab+bc+ac+a+b+c=164. \] В ответе укажите произведение $abc$.

Петя хотел нарисовать правильный треугольник $ABC$. Но, поскольку он рисовал неточно, получился треугольник с углами $\angle A=59^\circ$ и $\angle B=63^\circ$. Потом Петя провёл высоты $CE$ и $BD$, но, поскольку угольник был слегка перекошен, получил углы $\angle ADB=\angle AEC=92^\circ$. Найдите градусную меру угла $AED$.

Последовательность чисел задана следующим образом: $a_1=0$, $a_2=1$ и $a_{n+1}=4(a_n-a_{n-1})$ при $n\geqslant2$. Найдите наименьший положительный член последовательности, кратный $2014$. В ответе укажите номер этого члена.