Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Найдите наименьшее $n\gt 2016$ такое, что $1^n+2^n+3^n+4^n$ не кратно 10.

Около прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AB=5$ и $BC=6$ описали прямоугольник $ADEC$, как показано на рисунке. Какова площадь $ADEC$?

Вася придумывает 4-значный пароль для кодового замка. Он не любит цифру 2, поэтому не использует её. Кроме того он не любит, когда две одинаковые цифры стоят рядом. А ещё он хочет, чтобы первая цифра совпадала с последней. Сколько вариантов надо перебрать, чтобы гарантированно угадать Васин пароль?

В Империи Вестероса было 1000 городов и 2017 дорог (каждая дорога соединяет какие-то два города). Из каждого города можно было проехать в каждый. Однажды злой волшебник заколдовал $N$ дорог, и ездить по ним стало нельзя. Образовалось 7 королевств, так, что в каждом королевстве можно добраться из любого города в любой по дорогам, а из одного королевства в другое по дорогам добраться нельзя. При каком наибольшем $N$ это возможно?

Джеку Воробью нужно было разложить 150 пиастров по 10 кошелькам. После того как он положил некоторое количество пиастров в первый кошелёк, в каждый следующий он клал больше, чем в предыдущий. В результате оказалось, что количество пиастров в первом кошельке не меньше, чем половина количества пиастров в последнем. Сколько пиастров находится в 6-м кошельке?

Найдите наименьшее натуральное $N$ такое, что десятичная запись числа $999N$ состоит из одних семёрок.

Марк Уотни испытывает на прочность новый купол, предназначенный для экспедиции на Марс. Купол выполнен в форме полусферы радиуса 20 м. Марк поворачивается на север и стреляет под углом $45^\circ$ к земле, потом поворачивается на юг и тоже стреляет под углом $45^\circ$ (см. рис). Какие значения может принимать $|P_1P_2|$ — расстояние между точками попадания?

Решить уравнение: \[ \sqrt x\left(x^2-3x-4\right)^3+\sqrt{4-x}\left(x^2-8x\right)^5=0. \]