Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В 9:15 из пункта $A$ вышел пешеход, а в 10:15 вслед за ним отправился велосипедист, который догнал пешехода в 10:30. В какой момент времени нужно было выехать велосипедисту из пункта $A$, чтобы догнать пешехода в 10:00? (Скорости пешехода и велосипедиста постоянны.)

Известно, что $4001$ — простое число. Найдите все натуральные $n$, при которых \[ n(n+4001) \] является квадратом натурального числа.

Будем обозначать $\text{Окр}(x)$ результат округления числа до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, \[ \text{Окр}(3{,}14)=3,\quad \text{Окр}(2{,}71)=3,\quad \text{Окр}(4{,}5)=5. \] Задана последовательность чисел \[ a_n=n+\text{Окр}(\sqrt n),\quad n=1,2,\ldots \] Существует ли в этой последовательности участок, состоящий из $2026$ последовательных натуральных чисел?
Если такого участка нет, в ответе укажите $0$. Если такой участок существует, в ответе укажите наименьшее значение $k$, для которого $a_k, a_{k+1}, \ldots, a_{k+2025}$ являются последовательными натуральными числами.

На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа $a$ и $b$ и заменяем их на числа \[ 5a-3b\quad\text{и}\quad 7a-5b. \] Вначале на доске были записаны числа \[ 15, 16, 17, \ldots, 40. \] Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа $2001, 2002, 2003, \ldots, 2026$?

В городской парк прибыли $49$ волонтеров для уборки мусора. Они разбились на две группы, каждая группа собрала одинаковое количество мусора. Обе группы начали сбор мусора одновременно, но первая группа закончила на $1$ час позже второй. Каждая группа делала перерыв на обед, известно, что во второй группе перерыв занял не менее $1$ часа, но не более 1 ч. 20 мин.

• Если бы первая группа работала без перерыва, то она собрала бы в $1\frac34$ раз больше мусора.
• Если бы вторая группа работала без перерыва, она собрала бы в $1\frac23$ раз больше мусора.

Сколько человек было в первой группе? Производительность всех волонтеров (количество собранного мусора в час) считать одинаковой.

В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.