Олимпиада «Росатом»

Привокзальные часы имеют три электронных циферблата, которые показывают текущее время в часах, минутах и секундах соответственно. Очередные сутки начинаются, когда на табло часов светятся три нуля, а заканчиваются в $23$ часа $59$ минут $59$ секунд. Сколько раз в течение суток сумма числа часов и минут на них равняется числу секунд?

При каких $a$ уравнение $2\cos2x+4a\sin x=3$ имеет решения?

Члены последовательности $\{a_m\}_{m=1}^{\infty}$ определяются по правилу: для каждого натурального $m$ $a_{m+1}=a_m\cdot p_m$, где $p_m\gt 1$ — наименьшее простое число, не делящее $a_m$. Первый член последовательности $a_1=2$. Найти $m$, для которого $a_{m+2}-a_m=29820$.

Даны два отрезка длины $1$ и $\sqrt2+\sqrt3$ соответственно. С помощью циркуля и линейки без делений построить отрезок длины $\sqrt5$.

На гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет в три раза больше другого, во внешнюю сторону построен правильный треугольник. В каком отношении биссектриса прямого угла делит его площадь?