Олимпиада «Росатом»

В поезде 10 вагонов и в них находятся 270 пассажиров. Во втором вагоне более, чем на одного пассажира больше, чем в первом, в третьем вагоне более чем на одного пассажира больше, чем во втором и так до последнего вагона. Число пассажиров в последнем вагоне не более, чем в 2 раза превышает количество пассажиров в первом вагоне. Сколько пассажиров едет в первом вагоне?

Найти на интервале $(0;2\pi)$ наибольшее решение уравнения \[ (\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^3=\sin^3 x+\sin^3 2x+\sin^3 3x. \]

Найти первые 100 цифр после запятой в десятичной форме записи числа $\left(7+4\sqrt{3}\right)^{2023}$.

Решить уравнение \[ \left|2x-\sqrt{1-4x^2}\right|=4\sqrt{2}x\sqrt{1-4x^2}. \]

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность и его диагонали пересекаются в точке $P$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLP$, равен 1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $LMP$.