Олимпиада «Росатом»

Бригаду, состоящую из 4 землекопов, подрядили копать яму под фундамент жилого дома, но выдали только одну лопату. Чтобы все могли заработать, договорились копать по очереди: каждый член бригады работает столько времени, сколько копали бы $1/4$ часть ямы все остальные землекопы одновременно, при наличии у всех лопат. Работа на этих условиях была выполнена полностью. Во сколько раз работа могла быть выполнена быстрее, если изначально каждому дали по лопате?

Найдите все пары чисел $(x;y)$ в прямоугольнике $0\leqslant x\leqslant 2\pi$, $0\leqslant y\leqslant 1$, для которых \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(\cos^4(xy)+1\right)=4\cos^2 x\cos^2(xy). \]

В центре стола находятся 600 фишек, и Петя готовится играть на нем в игру под названием «Забери больше фишек». Цель игры — убрать со стола как можно больше фишек, соблюдая правило: за один ход можно убрать со стола ровно 154 фишки (или не брать ни одной), а вернуть на стол только 105 (или не возвращать ни одной). Какое наибольшее число фишек может убрать со стола Петя, соблюдая правила? Своих фишек в карманах Пети нет.

Найдите наименьшее значение числа $b$, при котором уравнение $x^2+ax+a+b=0$ имеет два решения вида $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ для некоторого $\alpha\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$.

Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $75^\circ$. На высоте $BH$ выбрана точка $D$ так, что угол $ADC$ равен $105^\circ$. Отношение $AD:BC=1:\sqrt{3}$. Найдите угол при вершине $C$ треугольника.