Олимпиада «Росатом»

На проволоку в форме окружности радиуса 6 нанизаны 5 одинаковых бусинок, равноотстоящих друг от друга. В некоторый момент времени 4 бусинки начали двигаться со скоростью $\pi/2$ (1/сек) в направлении против часовой стрелки, а оставшаяся бусинка — с той же скоростью в обратном направлении. После столкновения любых двух бусинок величина скорости их движения сохраняется, а направление мгновенно меняется на противоположное. Сколько столкновений произойдет между бусинками за 48 сек.?

На плоскости расположено множество параллелограммов, для которых

• координаты $(x;y)$ их вершин являются решениями системы \[ \begin{cases} \sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ \cos(x-y)=\sin(x+2y); \end{cases} \]
• координаты $(x;y)$ граничных точек являются решениями объединения \[ \left[\begin{aligned} &\sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ &\cos(x-y)=\sin(x+2y). \end{aligned}\right. \]

Найти наименьшее возможное значение площади таких параллелограммов.

Известно, что дробь $\frac{m(n+69m)}{n(m+69n)}$ сократимая для некоторых взаимно простых целых чисел $m$ и $n$. Найти наибольшее простое число $d$, на которое делится числитель и знаменатель дроби.

На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$.

При каких значениях $a$ система уравнений \[ \begin{cases} (x^2+y^2-25)(4x+3y-25)=0,\\ (x-6\cos a)^2+(y-6\sin a)^2=1 \end{cases} \] имеет единственное решение?

Расстоянием между двумя точками на поверхности прямоугольного параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ называют наименьшую длину ломаной на поверхности, соединяющей эти точки. По поверхности параллелепипеда с размерами $AB=2$, $AD=2\sqrt{2}$, $AA'=4$ ползет муравей так, что расстояние на поверхности между ним и вершиной $A$ всегда постоянное и равно $2\sqrt{2}$. Нарисовать замкнутую траекторию движения муравья по поверхности параллелепипеда и найти ее длину.