Олимпиада «Шаг в будущее»

Для химических опытов взяли две одинаковые пробирки, в которых налито жидкое вещество по 200 мл в каждой. Из первой пробирки вылили $1/4$ содержимого и добавили такое же количество воды, затем процедуру повторили еще 3 раза, каждый раз выливая четверть содержимого пробирки и доливая такое же количество воды. Аналогичную процедуру провели дважды для второй пробирки, выливая каждый раз некоторое количество содержимого пробирки и доливая такое же количество воды. В итоге концентрация полученных смесей в первой и второй пробирках стало относиться друг к другу как $9/16$. Определите, какое количество смеси отливали каждый раз из второй пробирки.

Найдите остаток от деления на 11 числа $A$: \[ A=\dfrac{2^1-2^2+2^3-\ldots+2^9-2^{10}}{-2^{-1}+2^{-2}-2^{-3}+\ldots-2^{-9}+2^{-10}}. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(|x+1|-|x-1|\right)\left(x^3-7x^2+36\right)}{x^8+2x^6-6x^4+2x^2+1}\geqslant 0. \]

Решите уравнение \[ \sqrt{x+\sqrt{x}-\dfrac{71}{16}}-\sqrt{x+\sqrt{x}-\dfrac{87}{16}}=\dfrac12. \]

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ длина биссектрисы угла $A$ равна 4, угол $A=60^\circ$. На серединном перпендикуляре к катету $CB$ в точке $Q$ лежит центр окружности, которая касается прямых $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OQM$, где точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left(x^2-a\right)^2+2\left(x^2-a\right)+(x-a)+2=0 \] имеет ровно одно решение? Укажите решение при найденных значениях параметра $a$.