Олимпиада «Шаг в будущее»

Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, $n\geqslant2$. С каким остатком число 3 в степени $a_{2022}$ делится на 13?

Известно, что графики функций $f(x)=x^p$ и $g(x)=\ln x$ касаются (имеют общую точку, в которой касательные к обоим графикам совпадают). Найдите константу $p$ и точку касания.

Биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $AO:OA_1=2:1$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_1$. Найдите угол $B_1A_1C_1$ и длину отрезка $A_1C_1$, если $AB=2$, $AC=4$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство $\log_{\sqrt{a/10}}\left(\dfrac{a+8x-x^2}{20}\right)\geqslant2$ имеет хотя бы одно решение $x\geqslant2$, и каждое такое решение является также решением уравнения $|a+2x-16|+|a-2x+9|=|2a-7|$.

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $C$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $BM$ боковой грани $SAB$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, если сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно 1.

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.
Пусть автомат установлен на льду на расстоянии $l=12$ м от ворот. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот, с некоторой фиксированной начальной скоростью выброса шайбы $V_0$ и под различными углами $\alpha$ к поверхности льда. Примем точку выброса за начало отсчета системы координат. Ось абсцисс направим перпендикулярно центральной линии хоккейной площадки в сторону ворот. Ось ординат — вверх, перпендикулярно поверхности льда. В распоряжении вратаря имеется ловушка для шайб, изображенная на рисунке точкой $M$. Траектория движения шайбы, находящейся в воздухе и рассматриваемой как материальная точка, в зависимости от времени $t$ в указанной системе координат описывается уравнениями: \[ \begin{cases} x=V_0t\cos\alpha,\\ y=V_0t\sin\alpha-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases} \] Определите диапазон возможных значений квадрата начальной скорости выброса шайбы, при каждом из которых шайба попадает в ловушку и максимально возможная высота ловушки в моменты захвата шайбы не превосходит 1 м. Для упрощения вычислений считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$.