Всероссийская олимпиада школьников по математике

11 класс, муниципальный этап 2018/19 уч. г. (Москва)

6 задач

Исходный PDF Искать в этом варианте
Задача 1
15341
Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на 1 (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное 11. Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством.
Ответ:
Решение:
Задача 2
14562
Известно, что $ab\lt 0$. Докажите, что \[a^2+b^2+c^2\gt 2ab+2bc+2ca.\]
Ответ:
Решение:
Задача 3
15686
Решите систему уравнений \[\begin{cases}\sin x\cos y=\sin z,\\ \cos x\sin y=\cos z,\end{cases}\] если числа $x$, $y$ и $z$ лежат на отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
14668
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $BC=CD$, $AC=c$, $\angle BAD=2\alpha$. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
Задача 5
13997
Клетчатую доску размером $7\times7$ склеили, используя фигурки трех видов (см. рисунок), не обязательно все. Сколько могло быть использовано фигурок, составленных из четырех клеток?
три фигурки из клеток: 1) уголок из трёх клеток (две клетки в нижнем ряду и одна клетка над правой из них); 2) квадрат 2×2 из четырёх клеток; 3) «зигзаг» из четырёх клеток (две клетки в нижнем ряду и две клетки в верхнем ряду, сдвинутые на одну клетку вправо)три фигурки из клеток: 1) уголок из трёх клеток (две клетки в нижнем ряду и одна клетка над правой из них); 2) квадрат 2×2 из четырёх клеток; 3) «зигзаг» из четырёх клеток (две клетки в нижнем ряду и две клетки в верхнем ряду, сдвинутые на одну клетку вправо)
Ответ:
Решение:
Задача 6
15123
Дан тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах $A$ и $B$. Ребро $AB$ равно 1. Найдите длину наименьшего ребра тетраэдра.
Ответ:
Решение:
← 10 класс, муниципальный этап 2018/19 уч. г. (Москва) 4 класс, школьный этап 2018/19 уч. г. (Москва) →