Всероссийская олимпиада школьников по математике

Докажите, что уравнение $x^2+2^{2018}x+2^{2019}=0$ не имеет целых корней.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность $\omega$. Диагональ $AC$ является диаметром окружности $\omega$. Найдите $\angle BEC$, если $\angle ADB=20^\circ$.

Сколькими способами можно разрезать по клеткам приведенную ниже картинку на прямоугольники $1\times2$ (сторона каждой клетки равна 1)?

На доске написано число ноль. Петру разрешается совершать следующие операции:

• применить к одному из написанных на доске чисел тригонометрическую ($\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ или $\operatorname{ctg}$) или обратную тригонометрическую ($\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$ или $\operatorname{arcctg}$) функцию и написать результат на доске;
• написать на доске частное или произведение двух уже написанных чисел.

Помогите Петру написать на доске $\sqrt{3}$.

На ребре $AA'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ с ребром длины 2 отмечена точка $K$. В пространстве отмечена такая точка $T$, что $TB=\sqrt{11}$ и $TC=\sqrt{15}$. Найдите длину высоты тетраэдра $TBCK$, опущенной из вершины $C$.

Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольным образом вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных?