Всероссийская олимпиада школьников по математике

В 7 «Б» классе учится больше 3, но меньше 15 детей. На Новый год к ним пришёл Дед Мороз с мешком, в котором было 195 конфет. Раздав всем ребятам в классе поровну конфет, Дед Мороз обнаружил, что в мешке осталось 8 конфет. Сколько конфет получил каждый из ребят?

В белом клетчатом квадрате $5\times5$ Петя закрасил несколько клеток в чёрный цвет так, что в каждом клетчатом квадрате $2\times2$ оказалось не более двух чёрных клеток. Его друг Вася, посмотрев на рисунок, решил перекрасить в белый цвет некоторые 5 клеток, любые две из которых находятся в разных строках и в разных столбцах. После этого получился рисунок, изображённый ниже.
Какие пять клеток перекрасил Вася? Постройте соответствие.

$\bullet$ В строчке $A$ перекрашенная клетка стоит	$\bullet$ в столбце с номером 1.
$\bullet$ В строчке $B$ перекрашенная клетка стоит	$\bullet$ в столбце с номером 2.
$\bullet$ В строчке $C$ перекрашенная клетка стоит	$\bullet$ в столбце с номером 3.
$\bullet$ В строчке $D$ перекрашенная клетка стоит	$\bullet$ в столбце с номером 4.
$\bullet$ В строчке $E$ перекрашенная клетка стоит	$\bullet$ в столбце с номером 5.

В примере с дробями некоторые двузначные натуральные числа заменили буквами $A$ и $B$ \[\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?

На рисунке изображены 5 прямых, пересекающиеся в одной точке. Один из получившихся углов равен $34^\circ$. Сколько градусов составляет сумма четырёх углов, закрашенных серым цветом?

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 35 жителей острова расселись за 7 столов, по 5 человек за каждым. Каждого из этих 35 жителей спросили: «Столов, за которыми сидят хотя бы 3 рыцаря, больше трёх?»
1. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Да»?
2. Какое наибольшее число жителей могли ответить «Нет»?

В кружочки на рисунке расставлены натуральные числа 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 (каждое число — в одном кружочке) так, что все три суммы трёх чисел вдоль каждой линии равны. Какое число может оказаться в кружочке $X$? Укажите все возможные варианты.

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезках $AD$ и $DC$ во внешнюю сторону от исходного треугольника построены равносторонние треугольники $ADE$ и $DCF$. Известно, что периметр треугольника $DEF$ равен 19, а периметр пятиугольника $ABCFE$ равен 43.
1. Найдите длину отрезка $AB$.
2. Найдите длину отрезка $EF$.

В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — $1/2$, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?