Непрерывные случайные величины

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 2; \\ & -4ax^2+20ax-24a, \quad\text{если}~2\leqslant x < 3; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant3. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $a$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины. Построить график плотности распределения при таком значении $a$.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & -\frac{4a}{9}x^2+\frac{4a}{3}x, \quad\text{если}~0\leqslant x < 3; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant3. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $a$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины. Построить график плотности распределения при таком значении $a$.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < 0; \\ & -ax^2+2ax, \quad\text{если}~0\leqslant x < 2; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant2. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $a$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины. Построить график плотности распределения при таком значении $a$.

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения: $$f(x)=\left\{\begin{aligned} & 0, \quad\text{если}~x < -1; \\ & -\frac{4a}{9}x^2+\frac{4a}{9}x+\frac{8a}{9}, \quad\text{если}~-1\leqslant x < 2; \\ & 0, \quad\text{если}~x\geqslant2. \end{aligned}\right.$$ Найти значение $a$, при котором функция такого вида может быть плотностью распределения некоторой случайной величины. Построить график плотности распределения при таком значении $a$.

Автомобиль на автомойке обслуживается в среднем за 25 минут. Какова вероятность, что обслуживание продлится не более 20 минут?

Онлайн-магазин получает заказы по пуассоновскому потоку с интенсивностью 5 заказов в час. Время обработки каждого заказа экспоненциально распределено со средним 12 минут.
а) Какова вероятность, что следующий заказ поступит не раньше, чем через 30 минут?
б) Какова вероятность, что за 2 часа поступит не менее 8 заказов?
в) Какова вероятность того, что обработка одного заказа завершится не позднее чем через 10 минут?

Среднее время безотказной работы электрической лампочки составляет 1000 часов. Предполагая, что время её работы подчиняется показательному распределению, найдите:
а) Вероятность того, что лампочка проработает более 1500 часов.
б) Вероятность того, что лампочка перегорит в интервале от 500 до 1500 часов.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}9$ лампочка ещё будет работать.

В call-центр в среднем поступает 12 звонков в час. Считая, что время между звонками имеет показательное распределение, определите:
а) Вероятность того, что следующий звонок поступит в течение ближайших 5 минут.
б) Вероятность того, что между двумя звонками пройдет более 10 минут.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}8$ поступит хотя бы один звонок.

Время ожидания автобуса на остановке распределено по показательному закону. Вероятность того, что пассажиру придётся ждать автобуса более 15 минут, равна $0{,}3$. Какова вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 10 минут.

Время ожидания автобуса на остановке распределено по показательному закону. Из наблюдений известно, что вероятность того, что пассажиру придётся ждать от 7 до 14 минут, равна $0{,}24$, а среднее время ожидания автобуса меньше 10 минут. Найти вероятность того, что пассажир будет ждать не более 6 минут.

Автомобиль на мойке обслуживается в среднем 20 мин. Какова вероятность, что обслуживание продлится не более 15 мин?

Автомобиль на мойке обслуживается в среднем 40 мин. Какова вероятность, что обслуживание продлится больше 30 мин?

Среднее время безотказной работы электрической лампочки составляет 1000 часов. Предполагая, что время её работы подчиняется показательному распределению, найдите:
а) Вероятность того, что лампочка проработает более 1600 часов.
б) Вероятность того, что лампочка перегорит в интервале от 500 до 1600 часов.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}9$ лампочка ещё будет работать.

Среднее время безотказной работы электрической лампочки составляет 2000 часов. Предполагая, что время её работы подчиняется показательному распределению, найдите:
а) Вероятность того, что лампочка проработает более 2500 часов.
б) Вероятность того, что лампочка перегорит в интервале от 800 до 2500 часов.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}8$ лампочка ещё будет работать.

В call-центр в среднем поступает 10 звонков в час. Считая, что время между звонками имеет показательное распределение, определите:
а) Вероятность того, что следующий звонок поступит в течение ближайших 4 минут.
б) Вероятность того, что между двумя звонками пройдет более 10 минут.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}8$ поступит хотя бы один звонок.

В call-центр в среднем поступает 8 звонков в час. Считая, что время между звонками имеет показательное распределение, определите:
а) Вероятность того, что следующий звонок поступит в течение ближайших 5 минут.
б) Вероятность того, что между двумя звонками пройдет более 12 минут.
в) Время, в течение которого с вероятностью $0{,}9$ поступит хотя бы один звонок.

Время ожидания автобуса на остановке распределено по показательному закону. Из наблюдений известно, что вероятность того, что пассажиру придётся ждать от 5 до 10 минут, равна $0{,}2$, а среднее время ожидания автобуса больше 6 минут. Найти вероятность того, что пассажир будет ждать не более 8 минут.

Время безотказной работы автомата распределено по показательному закону. Из экспериментов известно, что вероятность того, что автомат проработает без отказа от 10 до 20 часов, равна $0{,}2$, а среднее время безотказной работы больше 15 часов. Найти вероятность того, что автомат проработает без отказа не более 25 часов.

Случайная величина $z$ имеет стандартное нормальное распределение. Используя таблицу значений функции $\Phi_0(x)$, приближённо (с точностью до тысячных) найти следующие вероятности:
а) $P(0{,}13 \leqslant z \leqslant 0{,}76)$;
б) $P(-0{,}26 \leqslant z \leqslant 0{,}35)$;
в) $P(z \geqslant 0{,}25)$.

Случайная величина $z$ имеет стандартное нормальное распределение. Используя таблицу значений функции $\Phi_0(x)$, приближённо (с точностью до тысячных) найти следующие вероятности:
а) $P(0{,}23 \leqslant z \leqslant 0{,}86)$;
б) $P(-0{,}15 \leqslant z \leqslant 0{,}46)$;
в) $P(z \leqslant 0{,}34)$.