№ 10787

В прямую четырёхугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписана сфера $\omega$. Луч с началом в точке $A$ пересекает $\omega$ в точках $P$ и $Q$, а луч с началом в точке $C$ пересекает $\omega$ в точках $M$ и $N$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расстояние $\rho$ от центра $\omega$ до плоскости $PAC$, если известно, что \[ AO=1,\quad BO=2,\quad CO=4,\quad AP=\dfrac{\sqrt{5}}{3},\quad AQ=\dfrac{5\sqrt{5}}{3},\quad CM=\dfrac{10\sqrt{5}}{9},\quad CN=2\sqrt{5}. \]