Олимпиада «Физтех»

Дан приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ такой, что

• уравнение $f(x)=2x^2$ имеет единственное решение,
• а также уравнение $f(x)=-8$ имеет единственное решение.

Найдите сумму корней уравнения $f(x)=0$.

Сколькими способами можно представить число $n=2^{401}\cdot 3^{500}$ в виде произведения двух натуральных чисел $x$ и $y$, где $y$ делится на $x$?

Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \log_x 2+3\log_y 8+4\log_{xy}\dfrac{1}{16}=0,\\ \dfrac{x-1}{x+1}\gt \dfrac{3y-3}{7y+7},\\ x\leqslant 31. \end{cases} \]

Найдите все пары натуральных чисел $(a;b)$ такие, что \[ \begin{cases} 4\cdot\min(a;b)=3(a-b)^2,\\ 3\cdot\max(a;b)=\text{НОК}(a;b). \end{cases} \]

На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ с тупым углом $B$ как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, пересекающиеся в точках $B$ и $D$. Хорда $BE$ окружности $\omega_1$ перпендикулярна $BC$, а хорда $BF$ окружности $\omega_2$ перпендикулярна $CE$ и касается $\omega_1$. Найдите отношение $BF:BD$, если $\cos\angle BCE=\dfrac{3}{5}$.

При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} (y-x^2-x-1)(x^2-3xy+4y^2)(y+x-1)=0,\\ y=(2a+1)x-a^2+1 \end{cases} \] имеет ровно 2 решения?

В прямую четырёхугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписана сфера $\omega$. Луч с началом в точке $A$ пересекает $\omega$ в точках $P$ и $Q$, а луч с началом в точке $C$ пересекает $\omega$ в точках $M$ и $N$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расстояние $\rho$ от центра $\omega$ до плоскости $PAC$, если известно, что \[ AO=1,\quad BO=2,\quad CO=4,\quad AP=\dfrac{\sqrt{5}}{3},\quad AQ=\dfrac{5\sqrt{5}}{3},\quad CM=\dfrac{10\sqrt{5}}{9},\quad CN=2\sqrt{5}. \]