Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия — целое положительное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счёт пополнился на $847$ рублей. Сколько денег положил на счёт Федя, если известно, что комиссия менее $30\%$?
Ответ:
Решение:
В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в это же число раз первоначальное количество значков, оставив прежним количество браслетов, то у него будет 101 предмет. Сколько значков и сколько браслетов могло быть в коллекции Алика?
Ответ:
Решение:
Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число $t\gt 1$ (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в $t$ раз, а количество наклеек оставит тем же, то в его коллекции будет 100 предметов. Если же вместо этого он увеличит количество наклеек в $t$ раз, а количество монет оставит тем же, то у него будет 101 предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.
Ответ:
Решение:
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге $60\%$ от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Ответ:
Решение:
Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых $1$ кг, а другого — $2$ кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?
Ответ:
Решение:
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
Ответ:
Решение:
Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если $x$ является числом Сумматора, а $y$ является числом Вычитатора, то $x+y$ является числом Сумматора, а $y-x$ является числом Вычитатора. Обязательно ли все числа Сумматора являются числами Вычитатора?
Ответ:
Решение:
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа $S$ найдутся прямоугольники суммарной площади больше $S$.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
Ответ:
Решение:
Назовём подмножество $A$ плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой $\ell$ той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие $f\colon \ell\to A$, что для всяких двух точек $X$, $Y$ на прямой $\ell$ длина отрезка $XY$ отличается от длины отрезка $f(X)f(Y)$ не более, чем на 1. Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?
Ответ:
Решение:
К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a\operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\ne 0$.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции $y=\sin x$, $x\in(0;\alpha)$. Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если:
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?
Ответ:
Решение:
Для заданных значений $a$, $b$, $c$ и $d$ оказалось, что графики функций \[y=2a+\frac{1}{x-b}\quad\text{и}\quad y=2c+\frac{1}{x-d}\] имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций \[y=2b+\frac{1}{x-a}\quad\text{и}\quad y=2d+\frac{1}{x-c}\] также имеют ровно одну общую точку.
Ответ:
Решение:
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции \[ f(x)=\dfrac{1}{2^x+1}? \]
Ответ:
Решение:
Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции $y=\sin x$. Может ли та же кривая являться графиком функции $y=\sin^2x$ в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?
Ответ:
Решение:
В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?
Ответ:
Решение:
Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырёх треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?
Ответ:
Решение:
Угол $B$ при вершине равнобедренного треугольника $ABC$ равен $120^\circ$. Из вершины $B$ выпустили внутрь треугольника два луча под углом $60^\circ$ друг к другу, которые, отразившись от основания $AC$ в точках $P$ и $Q$, попали на боковые стороны в точки $M$ и $N$ (см. рисунок). Докажите, что площадь треугольника $PBQ$ равна сумме площадей треугольников $AMP$ и $CNQ$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ опустили перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. На отрезке $BH$ отметили точку $M$, равноудалённую от точек $C$ и $D$. Пусть $K$ — середина стороны $AB$. Докажите, что угол $MKD$ прямой.
Ответ:
Решение: