Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[x]+[2x]+[3x]+[4x]+\left[\frac{5x}{3}\right]$ таких, что $f(x)\in[70;280]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Множество $M$ состоит из всех таких чисел $t$, для каждого из которых числа \[ t+\frac{1}{t}\quad\text{и}\quad t^2-4t \] являются целыми. Найдите сумму квадратов элементов множества $M$.
Ответ:
Решение:
Ваня выписал на доску подряд все целые части от деления каждого из чисел \[ 1^2,2^2,\ldots,2024^2 \] на 2024, пропуская все повторяющиеся значения. Сколько всего чисел он выписал?
Ответ:
Решение:
Найдите все положительные числа $x$ такие, что оба числа $x+\frac{1}{x}$ и $x^2-4x$ являются целыми. В ответ запишите наибольшее из них, вычисленное с точностью до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Найдите количество различных значений функции $f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;75]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.
Ответ:
Решение:
Какое количество натуральных чисел $a$ обладает следующим свойством: «Наименьшее общее кратное чисел $16$, $50$ и $a$ равняется $1200$»?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $\text{НОД}(m,n)=1$. Какое наибольшее значение может принимать $\text{НОД}(20m+n,30n+m)$?
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(x,y)$ удовлетворяют равенству \[ \text{НОД}(x,y)+\text{НОК}(x,y)=2011\ ? \]
Ответ:
Решение:
Вершины $1000$-угольника последовательно занумеровали числами от $1$ до $1000$ и принялись закрашивать каждую $15$-ю вершину: сначала первую, потом $16$-ю, потом $31$-ю и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока можно закрашивать новые вершины. Сколько вершин останутся в итоге незакрашенными?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $13n+6$ и $17n+1$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $11n+6$ и $23n+5$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\dfrac ab$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[\dfrac{a+b}{a^2-6ab+b^2}.\] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что дробь $\dfrac{a}{b}$ несократима ($a\in\mathbb N$, $b\in\mathbb N$). На доске записана дробь \[ \dfrac{a+b}{a^2-8ab+b^2}. \] При каком наибольшем $m$ могло оказаться, что числитель и знаменатель дроби можно сократить на $m$?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[\begin{cases} \min(a;b)=7|a-b|,\\ 7\cdot\max(a;b)=8\bigl(\text{НОД}(a;b)\bigr)^2-64.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[ \begin{cases} 10\cdot\min(a;b)+\max(a;b)=2a+3b,\\ \bigl(\min(a;b)\bigr)^2+\text{НОД}(a;b)=6. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Пару взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$ назовём забавной, если $|a-b|\lt 5$. Найдите количество забавных пар чисел $(x,y)$ таких, что $60\leqslant x\lt y\leqslant 160$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество упорядоченных пар натуральных чисел $(a,b)$ таких, что $\text{НОК}(a,b)=16!$ и $\text{НОД}(a,b)=30$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный параллелепипед $35\times 40\times 56$, разбитый на $78400$ единичных кубиков, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков протыкает игла?
Ответ:
Решение:
На доске написаны числа $2^2 3^{14} 5^3 7^{12}$ и $2^{11} 3^2 5^{12} 7^2$. За одну операцию разрешается написать на доску ещё одно натуральное число — разность каких-то двух написанных на доске. При этом запрещается записывать такие числа, которые уже есть на доске. Найдите сумму двух наименьших чисел, которые могут получиться на доске в результате применения таких операций.
Ответ:
Решение: