Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ Известно, что \[a_3+a_6=23,\quad a_6^2-a_3^2=207.\] Чему равен девятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Пусть $S_k$ обозначает сумму первых $k$ членов прогрессии. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии при всех натуральных значениях $n$ справедливо соотношение \[ S_{3n}-S_n=12n^2+n. \] Найдите восьмой член прогрессии.
Ответ:
Решение:
Маша и Саша делят между собой ягоды, собранные ими в лесу. Вначале Маша берёт $15$ ягод, далее дети берут ягоды по очереди, причём каждый берёт ровно на одну ягоду больше, чем предыдущий. Если количество ягод, которое ребёнок должен взять, превышает количество ягод в куче, он берёт все оставшиеся ягоды. В конце дележа у Маши оказалось $1012$ ягод. Сколько ягод было в куче?
Ответ:
Решение:
Сколько одинаковых членов находится среди первых $2000$ членов арифметических прогрессий $9, 11, 13, \ldots$ и $3, 8, 13, \ldots$?
Ответ:
Решение:
Дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \ldots, a_n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$, а $a_1\gt 0$. Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$, если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?
Ответ:
Решение:
$S$ — сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, \ldots$, состоящей из целых чисел. Известно, что $a_6a_{12}\gt S+1$, $a_7a_{11}\lt S+17$. Укажите все возможные значения $a_1$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ — соответственно первый, второй и третий члены некоторой арифметической прогрессии (при этом $a$, $b$, $c$ не заданы, но известно, что $c\lt b\lt a$). Больший корень уравнения $ax^2-2bx+c=0$ является четвёртым членом этой прогрессии. Найдите его.
Ответ:
Решение:
Третий член арифметической прогрессии равен $3x+3$, пятый член равен $(x^2+2x)^2$, а девятый равен $3x^2$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2^\circ$ и начинающуюся с угла $143^\circ$. Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?
Ответ:
Решение:
В арифметической прогрессии, состоящей из $11$ членов, сумма квадратов первых пяти членов на $0{,}75$ больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 3x-y-3xy=-1,\\ 9x^2y^2+9x^2+y^2-6xy=13. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют системе уравнений \[\begin{cases} xy=3z+z^2,\\ yz=3x+x^2,\\ zx=3y+y^2.\end{cases}\] Найдите все возможные значения выражения $(x+3)^2+(y+3)^2+(z+3)^2$, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac{1}{y+z}=-\dfrac{2}{15},\\ \dfrac1y+\dfrac{1}{x+z}=-\dfrac23,\\ \dfrac1z+\dfrac{1}{x+y}=-\dfrac14. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} 3x\geqslant2y+16,\\ x^4+2x^2y^2+y^4+25-26x^2-26y^2=72xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac{1}{y+z}=\dfrac{1}{12},\\ \dfrac1y+\dfrac{1}{x+z}=\dfrac16,\\ \dfrac1z+\dfrac{1}{x+y}=\dfrac12. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} 2x+y+8\leqslant 0,\\ x^4+2x^2y^2+y^4+9-10x^2-10y^2=8xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y-xy^2-3x+3y+1=0,\\ x^3y-xy^3-3x^2+3y^2+3=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y+xy^2-2x-2y+10=0,\\ x^3y-xy^3-2x^2+2y^2-30=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y+xy^2+3x+3y+24=0,\\ x^3y-xy^3+3x^2-3y^2-48=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: