Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Спортсмен планирует свой режим тренировок на два месяца. В течение $60$ дней ему необходимо провести $9$ тренировок, причём после каждой тренировки, кроме последней, должны обязательно идти три дня перерыва, не включающие день тренировки. Сколькими способами он может составить себе расписание? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $2\,002$ до $2\,025$ можно выбрать $6$ чисел так, чтобы среди выбранных чисел нашлось $3$ числа, дающих одинаковые остатки от деления на $8$?
Ответ:
Решение:
Среднее арифметическое шестнадцати различных натуральных чисел равно $21$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.
Ответ:
Решение:
Вася выписал в строку натуральные числа $a_1\lt a_2\lt \ldots\lt a_{10}$. Оказалось, что среднее арифметическое этих чисел равно 25. Какое наименьшее значение может принимать число $a_{10}$?
Ответ:
Решение:
У Пети есть 10 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число. Все числа на карточках попарно различны, а наибольшее из них равно $N$. Оказалось, что среднее арифметическое чисел на карточках равно 15. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $76$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых трёх мудрецов, сидящих подряд, найдётся по крайней мере один в красном колпаке. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на $21$ равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на $441$ треугольничков. Назовём цепочкой последовательность треугольничков, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в такой цепочке?
Ответ:
Решение:
Тест по английскому языку сдавали $10$ школьников. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге по линиям сетки выделили прямоугольник $10\times15$ клеток. В нём отметили все узлы, в том числе и лежащие на его границе. Какое наибольшее число отмеченных узлов можно выбрать так, чтобы никакие три из них не являлись вершинами прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
В турнире участвовали $377$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $19$ параллельных между собой прямых, в другом $23$ параллельных между собой прямых, в третьем $36$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
Вася выписал на доску в строку $1200$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $12$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?
Ответ:
Решение:
Вася выписал на доску в строку $1300$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $10$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?
Ответ:
Решение:
В клубе собрались $12$ путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые $7$ путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих $7$ путешественников), а любые $6$ — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих $6$ путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?
Ответ:
Решение:
На плоскости проведены $3$ семейства по $6$ прямых трёх разных направлений, причём прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченных областей вырезают они из плоскости?
Ответ:
Решение:
В некоторой стране $65$ городов. Известно, что в любых $30$ городах проживает не менее чем $21\%$ жителей страны. Какой наибольший процент жителей этой страны может проживать в столичном городе?
Ответ:
Решение:
Длина круговой дорожки стадиона равна $400$ метров. В разных местах дорожки стоят $5$ спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?
Ответ:
Решение:
Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантированно могут это сделать?
Ответ:
Решение:
На факультете учится $100$ студентов. До зачёта каждые два студента встретились хотя бы на одной лекции по истории. При этом на каждой лекции по истории было не больше $50$ студентов. Какое наименьшее число лекций по истории могло пройти до зачёта?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $126$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение: