Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 421
Двое играют в «пасхальный бой яиц». Перед ними большая корзина с яйцами. Они наугад берут по яйцу и ударяют их друг о друга. Одно из яиц разбивается, побеждённый берёт новое яйцо, а победитель сохраняет своё яйцо для следующего раунда (исход каждого раунда зависит только от того, у какого яйца скорлупа прочнее; победившее яйцо сохраняет свою прочность). Известно, что первый игрок победил в первых десяти раундах. Какова вероятность того, что он же победит и в следующем раунде?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
В Анчурию на шашечный турнир приехало 27 участников, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Денису в первом туре не досталось пары. Какова вероятность того, что Денис станет победителем турнира?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по швамбранским шахматам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира?
В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира?
Ответ:
Решение:
У Маши в корзинке 15 подосиновиков и 12 белых грибов. Маша не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики Маша откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Маша взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 3 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Варя и Валя собирают наклейки из творожных сырков. Всего в коллекции 18 разных наклеек. Известно, что сейчас у Вари 12 разных наклеек, а у Вали — только 10 разных наклеек. Какова вероятность того, что если Варя и Валя объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Нины в корзинке 36 подосиновиков и 14 белых грибов. Нина не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики она откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Нина взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 2 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Тёма и Сёма собирают купоны из стаканчиков с мороженым. Всего в коллекции 17 разных купонов. На данный момент у Тёмы 11 разных купонов, а у Сёмы — только 9 разных купонов. Какова вероятность того, что если Тёма и Сёма объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение:
Понятно, что если взять случайное натуральное число из достаточно длинного отрезка натурального ряда, то вероятность того, что это число будет делиться на 10, будет тем ближе к 0,1, чем длиннее отрезок.
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?
Ответ:
Решение:
На каждой из четырех карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
В Анчурии проходит чемпионат по шашкам в несколько туров. Дни и города проведения туров определяются жеребьевкой. По правилам чемпионата никакие два тура не могут пройти в одном городе, и никакие два тура не могут пройти в один день. Среди болельщиков устраивается лотерея: главный приз получает тот, кто до начала чемпионата правильно угадает, в каких городах и в какие дни пройдут все туры. Если никто не угадает, то главный приз перейдет в распоряжение оргкомитета чемпионата. Всего в Анчурии восемь городов, а на чемпионат отведено всего восемь дней. Сколько туров чемпионата должен назначить оргкомитет, чтобы с наибольшей вероятностью получить главный приз самому?
Ответ:
Решение:
В здании $n$ этажей и две лестницы, идущие от первого до последнего этажа. На каждой лестнице между каждыми двумя этажами на промежуточной лестничной площадке есть дверь, разделяющая этажи (с лестницы на этаж пройти можно, даже если дверь заперта). Комендант решил, что слишком много открытых дверей — это плохо, и запер ровно половину дверей, выбрав двери случайным образом. Какова вероятность того, что можно подняться с первого этажа на последний, проходя только через открытые двери?
Ответ:
Решение:
В автобусе $n$ мест, и все билеты проданы $n$ пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету.
Ответ:
Решение:
Муха ползет из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.
Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.
Ответ:
Решение:
В некоторую карточную игру играют вчетвером. Чтобы определить, кому начинать игру, обычно бросают жребий «до первого туза». Всего в колоде 32 карты, от семёрок до тузов. Один из игроков раздаёт всем карты в открытую по очереди по часовой стрелке (себе — последнему), пока кому-то не достанется туз. Этому игроку и предстоит начать игру.
а) Для каждого игрока найдите вероятность того, что ему достанется первый туз.
б) Как изменить правила, чтобы сделать жребий справедливым?
а) Для каждого игрока найдите вероятность того, что ему достанется первый туз.
б) Как изменить правила, чтобы сделать жребий справедливым?
Ответ:
Решение:
Монету бросают $n$ раз. Полосой удачи длины $k$ назовем последовательность из $k$ выпавших подряд орлов. Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях монеты самая длинная полоса удачи будет иметь длину 4.
Ответ:
Решение:
В выпуклом многоугольнике, в котором нечетное число вершин, равное $2n+1$, выбирают независимо друг от друга две случайные диагонали. Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри многоугольника.
Ответ:
Решение:
На конференцию приехали 18 ученых, из которых ровно 10 знают сногсшибательную новость. Во время перерыва (кофе-брейка) все ученые разбиваются на случайные пары, и в каждой паре каждый, кто знает новость, рассказывает эту новость другому, если тот её ещё не знал.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой $X$ количество ученых, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание $X$.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой $X$ количество ученых, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание $X$.
Ответ:
Решение: