Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
Петя и Вася играют в игру. Вася кладёт в ряд 150 монет: некоторые «орлом» вверх, некоторые — «решкой». Петя своим ходом может показать на любые три лежащие подряд монеты, после чего Вася обязан перевернуть какие-то две монеты из этих трёх по своему выбору. Петя хочет, чтобы как можно больше монет лежали «решкой» вверх, а Вася хочет ему помешать. При каком наибольшем $k$ Петя сможет независимо от действий Васи добиться того, чтобы хотя бы $k$ монет лежали «решкой» вверх?
Ответ:
Решение:
Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.
Ответ:
Решение:
У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке?
Ответ:
Решение:
В квадратной таблице $2021\times2021$ стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий:
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
1) прибавить к каждому выбранному числу 1;
2) разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число.
Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1?
Ответ:
Решение:
В группе из 79 школьников у каждого не более 39 знакомых, причем у любого мальчика есть знакомая девочка, а у любой девочки — знакомый мальчик. Может ли оказаться, что все девочки из этой группы имеют в ней поровну знакомых мальчиков, а все мальчики — поровну знакомых девочек? Все знакомства — взаимные.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^2-x\gt y^2$ и $y^2-y\gt x^2$. Какой знак может иметь произведение $xy$?
Ответ:
Решение:
$CL$ — биссектриса треугольника $ABC$. $CLBK$ — параллелограмм. Прямая $AK$ пересекает отрезок $CL$ в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ равноудалена от диагоналей параллелограмма $CLBK$. Докажите, что $AK\geqslant CL$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP=BR$. Найдите сумму углов $ARM$, $PBM$ и $BMR$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 125. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде сотен?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$, большее 2. Докажите, что если число $n!+n^3+1$ — простое, то число $n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел.
Ответ:
Решение: