Поиск задач

Клетчатый прямоугольник $100\times101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$?

На окружности отмечено 150 серых, 151 бурая и 152 малиновых точки таким образом, что никакие две одноцветные точки не стоят рядом. Докажите, что найдётся бурая точка, у которой оба соседа — малиновые.

Существуют ли 10 000 последовательных семизначных чисел, которые можно разбить на 99 групп так, чтобы сумма всех чисел в каждой из групп была одной и той же?

Внутри трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$), где $AD=2BC$, взята точка $F$, для которой $AB=FB$. Точка $M$ — середина отрезка $FD$. Докажите, что $CM\perp FA$.

Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.