Поиск задач

Можно ли прямоугольник $1000\times2016$ разрезать на прямоугольники $1\times2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов?

В одной деревне живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник каждому жителю деревни задал два вопроса: «Сколько в деревне рыцарей?» и «На сколько отличаются количества рыцарей и лжецов?» Путешественник знает, что в деревне есть хотя бы один рыцарь. Всегда ли по полученным ответам путешественник сможет узнать, кто из жителей деревни рыцарь, а кто — лжец?

В школе 30 кружков, в каждом занимаются 40 детей. Для каждого $i=1, 2, \ldots, 30$ обозначим через $n_i$ количество детей, занимающихся ровно в $i$ кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать 40 кружков с 30 детьми в каждом так, чтобы числа $n_i$ для этих новых кружков были бы теми же самыми.

В стране Эйлерии 101 город. Каждые два города соединены двусторонним беспосадочным рейсом одной из 99 авиакомпаний. Известно, что из каждого города выходят рейсы всех 99 компаний. Назовём треугольником три города, попарно соединённых рейсами одной и той же компании. Докажите, что в Эйлерии не больше одного треугольника.

Сумма неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 4. Докажите, что \[(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)\leqslant8.\]

Дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ и продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбраны соответственно точки $K$, $L$ и $M$ так, что треугольники $KLM$ и $BCA$ равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок $KM$ пересекает отрезок $AD$ в точке $N$. Докажите, что $LN\parallel AB$.

Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF=AD$ и $AC+EF=DE$. Найдите угол $BDE$.

Даны $2n$-значное натуральное число $a$ и натуральное число $k$. Числа $a$ и $ka$ записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа 00, 01, $\ldots$, 09 здесь тоже считаются двузначными; если в числе $ka$ оказалось нечётное количество цифр, к нему спереди приписали 0). Оказалось, что у числа $a$ полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа $a$ к старшим), а у числа $ka$ — строго возрастают. Докажите, что $k\geqslant n$.