Поиск задач

На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме.
У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена.
1. Сколько команд попадёт на областной чемпионат?
2. Сколько будет сыграно матчей?

Числа 3, 7, 10, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия:

• В первой группе оказались только простые числа.
• Во второй группе сумма чисел делится на 3.
• Сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы.

Какие числа в какой группе?

В таблице $6\times6$ отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько свободных клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках стёрли.
1. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
2. Найдите количество отмеченных клеток.

В квадрате $5\times5$ расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали.
Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?

Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны $\sqrt{3}$. Найдите разность периметров этих треугольников.

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Окружность с центром в $A$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $E$, а окружность с центром в $B$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $D$. Найдите $ED$, если $AD=16$, $BE=50$.

Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 20%, 35% и 45% соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 25% красной, 40% зелёной и 35% синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.

Натуральные числа $a$, $b$ таковы, что число $\dfrac{7a+9b}{a+3b}$ — тоже натуральное. Чему может быть равно отношение $\dfrac{a}{b}$? Укажите все подходящие варианты.