Поиск задач

Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали.
Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски $8\times 8$. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?

1. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на 12?
2. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на 12?

Девять посёлков соединены восемью дорогами $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, как показано на рисунке. Длины дорог равны 1, 2, 3, …, 8 км в некотором порядке. Для каждого посёлка нашли длину кратчайшего пути до каждого другого по дорогам, и все такие длины сложили.
1. Известно, что полученная сумма — наибольшая из возможных. Какая из дорог может иметь длину 8 км? Укажите все возможные варианты.
2. Сколько существует способов присвоить дорогам их длины от 1 до 8 км так, чтобы полученная сумма оказалась наибольшей из возможных?

Вписанный четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ADB=40^\circ$ и $\angle CDB=52^\circ$. Точка $M$ внутри четырёхугольника такова, что $\angle BAM=26^\circ$ и $\angle BCM=20^\circ$. Сколько градусов составляет угол $CBM$?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ проведена высота $AH$. На продолжении отрезка $HA$ за точку $A$ нашлась точка $D$ такая, что $\angle DBA=\angle CBA$. Найдите длину отрезка $BD$, если известно, что $BC=7$ и $AD=12$.

Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы $n$ слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Различные натуральные числа $n$ и $k$ таковы, что \[k\lt n\lt 2k\lt 3n\lt 4k\lt 5n\lt \ldots\lt 48k\lt 49n\lt 50k.\] Какое наименьшее значение может принимать $n$?

Действительные ненулевые числа $a$ и $b$ таковы, что квадратный трёхчлен \[P(x)=ax^2-20ax+b\] имеет два действительных корня, отличающихся на 2.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.