Поиск задач

На какое наибольшее количество групп можно разбить числа $1, 2, 3, \ldots, 100$ так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)

Рассмотрим семизначные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 встречается ровно один раз.
1. У скольких из них цифры с первой по шестую расположены в порядке возрастания, а с шестой по седьмую — в порядке убывания?
2. У скольких из них цифры с первой по пятую расположены в порядке возрастания, а с пятой по седьмую — в порядке убывания?

В лесу живут эльфы и гномы. Однажды 60 жителей этого леса встали в ряд лицом в одну сторону, в этот момент некоторые из них могли быть в колпаках. (Эльфов могло быть от 0 до 60 включительно, жителей в колпаках тоже могло быть от 0 до 60 включительно.)
Каждый из 60 жителей сказал одну из следующих фраз:

• «Мой сосед справа — эльф».
• «Мой сосед справа — в колпаке».

Известно, что эльфы без колпаков всегда говорят правду, а эльфы в колпаках всегда лгут. У гномов всё наоборот: гномы без колпаков всегда лгут, а гномы в колпаках всегда говорят правду.
1. Какое наибольшее количество эльфов без колпаков могло быть в ряду?
2. Какое наибольшее количество эльфов в колпаках могло быть в ряду?

Клетки таблицы $50\times50$ раскрашены в $n$ цветов так, что для любой клетки в объединении её строки и столбца встречаются клетки всех $n$ цветов. Найдите наибольшее возможное количество клеток синего цвета, если
1. $n=2$;
2. $n=25$.

На плоскости отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ так, что треугольники $ABC$ и $ADE$ равны: $AB=AD$, $AC=AE$, $BC=DE$. Затем с чертежа стёрли точку $E$ и подписи точек $B$, $C$ и $D$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.

Внутри большого квадрата находится маленький квадрат, соответственные стороны этих квадратов параллельны. Расстояния между некоторыми сторонами квадратов отмечены на рисунке. На сколько периметр большого квадрата больше, чем периметр маленького?

Крош и Ёжик решили проверить, кто из них быстрее добежит по прямой дороге от домика Копатыча до домика Лосяша. Когда Крош пробежал 20 метров, Ёжик пробежал всего 16 метров. А когда Крошу оставалось 30 метров, Ёжику оставалось 60 метров. Сколько метров составляет длина дороги от домика Копатыча до домика Лосяша? (Крош и Ёжик выбежали одновременно, каждый из них бежал со своей постоянной скоростью.)

Каждое из натуральных чисел $1, 2, 3, \ldots, 377$ покрашено либо в красный, либо в синий цвет (оба цвета присутствуют). Известно, что количество красных чисел равно наименьшему красному числу, а количество синих чисел равно наибольшему синему числу. Чему равно наименьшее красное число?