Поиск задач

Изначально в левом нижнем и правом нижнем углах доски $2018\times2018$ стоят два скакуна — красный и синий соответственно. Коля и Саша ходят по очереди; начинает Коля. За ход игрок перемещает своего скакуна (Коля — красного, а Саша — синего), сдвигая его одновременно на 20 клеток по одной из координат и на 17 по другой; при этом скакун не может вставать на клетку, занятую другим скакуном. Запрещено создавать позицию, которая уже встречалась в игре (позиции совпадают, если в них красный скакун стоит на одном и том же поле, и синий — тоже). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Дано натуральное число $k$. На клетчатой плоскости изначально отмечено $N$ клеток. Назовём крестом клетки $A$ множество всех клеток, находящихся в одной вертикали или горизонтали с $A$. Если в кресте неотмеченной клетки $A$ отмечено хотя бы $k$ других клеток, то клетку $A$ также можно отметить. Оказалось, что цепочкой таких действий можно отметить любую клетку плоскости. При каком наименьшем $N$ это могло случиться?

На столе по кругу разложены 1000 карточек, на каждой написано по натуральному числу; все эти числа различны. Сначала Вася выбирает одну из карточек и снимает её со стола. Далее он повторяет следующую операцию. Если на последней снятой карточке было написано число $k$, то Вася отсчитывает от неё по часовой стрелке $k$-ю не снятую со стола карточку и тоже снимает её. Это происходит до тех пор, пока на столе не останется одна карточка. Могло ли оказаться, что в начальном расположении есть такая карточка $A$, что если снять первой любую другую карточку, то в конце останется обязательно карточка $A$?

Даны положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, где $n\geqslant 2$. Докажите, что \[ \frac{1+x_1^2}{1+x_1x_2}+\frac{1+x_2^2}{1+x_2x_3}+\ldots+\frac{1+x_{n-1}^2}{1+x_{n-1}x_n}+\frac{1+x_n^2}{1+x_nx_1}\geqslant n. \]

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. Отрезки $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $O$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BC$. Отрезок $A'O$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $APQ$, в точке $S$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $BSC$, касается окружности $\omega$.

Три диагонали правильной $n$-угольной призмы пересекаются в одной внутренней точке $O$. Докажите, что точка $O$ — центр призмы. (Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две её вершины, не находящиеся в одной грани.)

Определим последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ формулой $a_n=\left[n^{\frac{2018}{2017}}\right]$. Докажите, что существует такое натуральное число $N$, что среди любых $N$ подряд идущих членов последовательности есть такой, десятичная запись которого содержит цифру 5. (Как обычно, через $[x]$ обозначается наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Многочлен $P(x)$ таков, что многочлены $P(P(x))$ и $P(P(P(x)))$ строго монотонны на всей вещественной оси. Докажите, что $P(x)$ тоже строго монотонен на всей вещественной оси.