Поиск задач

Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.

Найдено задач: 6 · весь вариант по порядку
13810
В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причем каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?
Ответ:
Решение:
14388
В клетках квадрата $3\times3$ записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы любые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? (Например, из клетки с буквой $a$ конь может пойти в клетки с буквами $f$ и $h$, а король — в клетки с буквами $b$, $d$ и $e$.)
$a$$b$$c$
$d$$e$$f$
$g$$h$$i$
Ответ:
Решение:
14765
В остроугольном треугольнике $MKN$ проведена биссектриса $KL$. Точка $X$ на стороне $MK$ такова, что $KX=KN$. Докажите, что прямые $KO$ и $XL$ перпендикулярны ($O$ — центр описанной окружности треугольника $MKN$).
Ответ:
Решение:
14891
Через точку $P$ проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника $ABC$ (см. рисунок). Докажите, что площади треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равны.
треугольник ABC (основание AC, вершина B сверху) и точка P внутри него. Через P проведены отрезки C_2A_1 AC, A_2B_1 AB и C_1B_2 BC с концами на сторонах треугольника: точки C_2 и C_1 лежат на AB (в порядке A, C_2, C_1, B), точки A_2 и A_1 — на BC (в порядке B, A_2, A_1, C), точки B_1 и B_2 — на…треугольник ABC (основание AC, вершина B сверху) и точка P внутри него. Через P проведены отрезки C_2A_1 AC, A_2B_1 AB и C_1B_2 BC с концами на сторонах треугольника: точки C_2 и C_1 лежат на AB (в порядке A, C_2, C_1, B), точки A_2 и A_1 — на BC (в порядке B, A_2, A_1, C), точки B_1 и B_2 — на…
Ответ:
Решение:
15528
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
Ответ:
Решение:
15635
Даны три квадратных трёхчлена: $x^2+b_1x+c_1$, $x^2+b_2x+c_2$ и $x^2+\frac{b_1+b_2}{2}x+\frac{c_1+c_2}{2}$. Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).
Ответ:
Решение: