Поиск задач

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} x^2+y^2+31\leqslant 8\left(|x|+|y|\right),\\ x^2+y^2-2y=a^2-1 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Точки $K$, $L$, $M$ лежат на отрезках $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ соответственно так, что \[ \dfrac{A_1K}{KB}=\dfrac{B_1L}{LC}=\dfrac{C_1M}{MD}=3. \] Сфера радиуса $R=2$ касается прямых $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, расстояние от центра сферы до плоскости $KLM$ и объём призмы.

Решите неравенство \[ \left|2^{\sqrt{x-1}-1}-1\right|+\dfrac{5}{3}\leqslant\dfrac{2^{\sqrt{x-1}+3}}{3}-4^{\sqrt{x-1}-\frac{1}{2}}. \]

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2-y^2=2x+4y-3z,\\ y^2-z^2=x-3y+4z,\\ z^2-x^2=-3x+y-5z. \end{cases} \]

Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, а их длины равны соответственно $30$, $24$ и $18$. Найдите площади треугольников $ABC$ и $OA_1C$, а также радиус окружности, описанной около треугольника $OA_1C$.

Найдите решения уравнения \[ \dfrac{\cos x}{\cos 3x}-\dfrac{\cos 5x}{\cos x}=8\sin x\sin 3x, \] удовлетворяющие неравенству $\sin x\geqslant 0$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \log_{2x+1}(4x^2-y^2+8x-6y-4)=2,\\ \log_{y+2}(y^2+6y-x+14)=2. \end{cases} \]