Поиск задач

Решите уравнение \[ \dfrac{\cos 9x-2\cos 6x+1}{\cos 3x-1}=|\cos 3x|. \]

Найти все значения параметра $a$, при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе уравнений \[ \begin{cases} \left(x+y^2-1\right)\left(y-\sqrt{6}|x|\right)=0,\\ 2ay+x=1+a^2. \end{cases} \]

Окружность $\omega$ с центром $O$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD=2CE$, а угол $DOE$ равен $\operatorname{arcctg}\frac{1}{3}$. Найти углы треугольника $ABC$ и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.

Внутри прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположены два шара $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар $\omega_1$ касается граней $ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, а шар $\omega_2$ касается граней $A_1B_1C_1D_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$. Известно, что $AB=6-\sqrt{2}$, $A_1D_1=6+\sqrt{2}$, $CC_1=6$. Найти расстояние между центрами шаров $\omega_1$ и $\omega_2$. Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.

Решите уравнение \[ 2\log_3(x^2-4)+3\sqrt{\log_3(x+2)^2}-\log_3(x-2)^2=4. \]

Решите неравенство \[ \dfrac{\left(\sqrt{x+3}+x-3\right)\left(\sqrt{4x+5}+x-4\right)}{\sqrt{4+4x-x^2-x^3}}\leqslant 0. \]