Поиск задач

Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток $[0;60)$.
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение трёх суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?

Сколько решений на отрезке $[0;\pi]$ имеет уравнение \[ 5\sin x+4=|5\cos x+2|? \]

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел $m$ и $n$, если при увеличении числа $m$ на 6 он увеличивается в 4 раза?

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$, удовлетворяющие уравнению \[ \log_5\left(\frac{(x+1)^2}{x}-a\right)=\log_5\frac{(x+1)^2}{x}-\log_5 a. \]

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке $A$, а третьей окружности — в точках $B$ и $C$. Продолжение хорды $AB$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $D$, продолжение хорды $AC$ пересекает первую окружность в точке $E$, а продолжения хорд $BE$ и $CD$ — третью окружность в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $BG$, если $BC=5$ и $BF=12$.

На сколько одно из положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2\sqrt3$, а среднее геометрическое равно $\sqrt3$?

Можно ли данный двугранный угол величиной $90^\circ$ пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной $110^\circ$?

В свежих грибах содержание воды колеблется от 90% до 99%, а в сушёных — от 30% до 45%. В какое наибольшее количество раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Найдите все пары $(x,y)$, при каждой из которых для чисел \[ u=\sqrt{4+x^3-9x}-x-3^y\quad\text{и}\quad v=2-x-3^y \] справедливы все три следующих высказывания сразу:

• если $|u|\gt |v|$, то $u\gt 0$;
• если $|u|\lt |v|$, то $v\lt 0$;
• если $|u|=|v|$, то $v\lt 0\lt u$.