Поиск задач

Решить уравнение \[\log_{11-x^2}\left(2^x-6+3\cdot2^{2-x}\right)=\log_{x-1}\left(2^x-6+3\cdot2^{2-x}\right).\]

Решить уравнение \[\sin 2x=2\sin^3|x|+\sin 2x\cos x.\]

Найти все значения параметра $a$, при которых наибольшее значение величины $x^2+y$ на множестве пар действительных чисел $(x;y)$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $y\leqslant\sqrt{1-x^2}$ и $y+|x-a|\leqslant1$, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ лежат внутри треугольника $ABC$, в котором $AB=BC=l$, $AC=2$, а радиус $\omega_1$ в два раза больше радиуса $\omega_2$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом, причём $\omega_1$ касается сторон $AB$ и $AC$, а $\omega_2$ — сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найти радиус окружности $\omega_1$, если $l=6$. Найти все значения $l$, при которых существуют указанные окружности.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ четыре числа — длины рёбер и диагонали $AC_1$ — образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью $d$, причём $AA_1\lt AB\lt BC$. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса $R$ расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, $ABCD$, а вторая — граней $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $A_1B_1C_1D_1$. Найти:
а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми $CD_1$ и $AC_1$,
в) радиус $R$.

Решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{3-2x}{1+2x}}+\dfrac{\sqrt{1+2x}}{2\sqrt{3-2x}-\sqrt2}\geqslant0.\]